Linear (선형)

Mark as In Progress

정의

Linear는 입력과 출력 사이의 관계가 비례성과 가법성을 만족하는 시스템 또는 동작 특성을 의미한다.

Linear 개념은 수학, 물리, 전자공학 전반에서 사용되는 가장 기본적인 시스템 특성으로, 입력이 두배가 되고, 여러 입력을 합치면 출력도 같은 방식으로 합쳐지는 구조를 말한다.

이 개념은 회로 분석, 신호 처리, 제어 이론 등 현대 공학의 핵심 기반이며, 시스템을 예측 가능하고 해석 가능한 형태로 만들기 위해 선형성(Linear)을 전제로 한 모델링이 널리 활용된다.

현실 세계에는 많은 비선형적 시스템이 존재하지만, 분석, 설계 단계에서는 대부분 선형 근사(Linear Approximation)를 통해 문제를 단순화한다.

Linear의 원리는 선형성(Linearity)을 구성하는 두 핵심 조건인 비례성(Homogeneity)과 가법성(Additivity)의 만족 여부로 정의된다.

입력을 k배 하면 출력도 정확히 k배가 되어야 한다.
예: x(t) → k·x(t) 일 때, 시스템 출력 y(t) → k·y(t)

두 입력 x1(t)와 x2(t)를 동시에 넣으면, 출력은 두 입력을 각각 넣었을 대의 출력의 합과 동일해야 한다.

이 두 조건을 동시에 만족하는 시스템을 Linear System이라 하며, 신호 처리에서는 LTI(Linear Time-Invariatn) 시스템 분석의 기초가 된다.

Linear 시스템에서는 중첩 원리(Superposition Principle)가 성립하므로, 복잡한 입력을 여러 단순 신호의 합으로 분해해 따로 계산하고 다시 합칠 수 있다.

Convolution, Fourier Transform, Laplace Transform 등 대부분의 해석 도구는 시스템이 선형이라는 가정 아래에서 성립한다.


L{a·x1(t) + b·x2(t)} = a·L{x1(t)} + b·L{x2(t)}


L{k·x(t)} = k·L{x(t)}


L{x1(t) + x2(t)} = L{x1(t)} + L{x2(t)}


y(t) = x(t) * h(t)


Y(f) = X(f) · H(f)

Mark as Done